📘 Exemplo de Aplicação do Método SAAMM: Resolução de uma Equação Cúbica

Aprenda a aplicar o método SAAMM na resolução aproximada de equações algébricas de grau 3. Este é um dos destaques da Aula 8 do curso Pensando Fora da Caixa 1: Métodos Analíticos Aproximados para Resolver Equações Algébricas.

Equação proposta:

Considere a seguinte equação cúbica: $$x^3 – 6x^2 + 11x – 6 = 0 $$

Vamos resolvê-la utilizando o método SAAMM, conforme apresentado nas seções anteriores, por meio da aplicação de seus três passos fundamentais.

📌 O que é o Método SAAMM?

O SAAMM (Simplified Approximate Analytical Mathematical Method) é uma metodologia inovadora que permite resolver equações algébricas — especialmente de grau superior — de forma aproximada, visual e acessível. Ele é composto por três passos simples:

Substituição da variável original;
Linearização da equação transformada;
Determinação gráfica do chute inicial U.

✅ Passo 1: Substituição de variável

Substituímos na equação original a variável $x$ por: $x = \theta + U $, e obtemos:

$ (\theta + U)^3 – 6(\theta + U)^2 + 11(\theta + U) – 6 = 0 \tag{1} $

✅ Passo 2: Linearização em θ

À primeira vista, a substituição parece gerar uma expressão complexa devido às potências da variável. No entanto, utilizamos uma aproximação prática e eficiente baseada na suposição de que θ é pequeno. Para isso, aplicamos a seguinte regra de aproximação, válida quando $ \theta^2 \approx 0 $:

📐 Regra 1 – Expansões simplificadas:

Partindo de um processo de indução matemática, como o mostrado a seguir:

$$ (\theta + U)^2 = \theta^2 + 2\theta U + U^2 $$

$$ (\theta + U)^3 = \theta^3 + 3U\theta^2 + 3U^2\theta + U^3 $$

$$ (\theta + U)^4 = \theta^4 + 4U\theta^3 + 6U^2\theta^2 + 4U^3\theta + U^4 $$

Obtemos o seguinte resultado geral, para k um número inteiro:

$$ (\theta + U)^k \approx kU^{k-1}\theta + U^k $$

Aplicando a Regra 1 na Equação (1), obtemos:

$$ (\theta + U)^3 – 6(\theta + U)^2 + 11(\theta + U) – 6 = 0 $$

Expandindo e organizando:

$$ 3U^2\theta – 12U\theta + 11\theta + U^3 – 6U^2 + 11U – 6 = 0 $$

Agrupando termos:

$$ (3U^2 – 12U + 11)\theta = -U^3 + 6U^2 – 11U + 6 $$

Logo, a solução aproximada para θ é:

$$ \theta = \frac{-U^3 + 6U^2 – 11U + 6}{3U^2 – 12U + 11}$$

Como $x = \theta + U $, obtemos:

$$ x = \frac{-U^3 + 6U^2 – 11U + 6}{3U^2 – 12U + 11} + U $$

Após simplificação algébrica, a expressão final é:

$$ x = \frac{2U^3 – 6U^2 + 6}{3U^2 – 12U + 11} \tag{2} $$

✅ Passo 3: Determinação de U com o método gráfico

Agora queremos encontrar U para substituir na Eq. (2) e encontrar x.

Uma das possibilidades de se fazer isso, não única, mas uma delas, para encontrar um valor adequado para U, consiste em quebrar a equação original,

$$x^3 – 6x^2 – 11x + 6 = 0 $$

de uma forma adequada para se obter duas curvas. Assim, separamos a equação em dois lados:

Lado esquerdo: $ f_{\text{esq}}(x) = x^3 $
Lado direito: $ f_{\text{dir}}(x) = 6x^2 – 11x + 6 $

Traçando os gráficos dessas duas funções (em softwares como Python, Maple, MATLAB, ou até mesmo à mão), os pontos de interseção entre $ f_{\text{esq}}$ e $ f_{\text{dir}}$ nos darão possibilidade de arbitrar os valores de U. Como se trata de uma equação cúbica, espera-se encontrar até três pontos de interseção, ou seja, três raízes reais, neste problema específico, como podemos ver na Figura 1.

Figura 1 – Gráficos das interseções das funções, $ f_{\text{esq}}$ e $ f_{\text{dir}}$, resultando em três pontos de interseção que podem ser considerados uma boa estimativa de chute inicial para U. Observando-se os gráficos, podemos arbitrar, U₁=1.1, U₂=2.2 e U₃=3.2, como possíveis chutes iniciais para determinar as raizes.

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Após plotar os gráficos, você observará três interseções. Suponha que, olhando o gráfico, escolhemos: U₁=1.1, U₂=2.2 e U₃=3.2, como chutes iniciais para determinar as raizes.

📊 Supondo os valores de U estimados graficamente:

$U_1 = 1{,}1 $
$U_2 = 2{,}2 $
$U_3 = 3{,}2 $

Aplicando cada valor de U na Equação (2), obtemos os valores aproximados de x, para as três raízes possíveis:

Se aplicarmos esses valores de x na equação original $$ x^3 – 6x^2 + 11x – 6, $$ verificamos que os resíduos (diferenças) são muito próximos de zero, o que confirma a qualidade da aproximação fornecida pelo método SAAMM.

✅ Conclusão

O método SAAMM oferece uma alternativa analítica poderosa para resolver equações cúbicas com simplicidade e intuição. A substituição, a linearização e o uso de gráficos tornam o processo acessível para estudantes e professores que desejam ir além dos métodos numéricos convencionais.

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📘 Veja também: Aula 7 – Qual É O SEGREDO Para Melhorar Seus Resultados em Matemática?
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O método analítico aproximado simplificado é uma abordagem inovadora para resolver equações algébricas de grau superior, como as equações cúbicas, por meio de expressões intuitivas e fáceis de aplicar — você nunca conheceu um método tão acessível, que realmente entrega soluções aproximadas simples para problemas que antes exigiam técnicas analíticas ou métodos numéricos complexos.