$ 3x−5 = \sqrt{x} $ – SAAMM Analytical Help

Vamos resolver a equação $3x−5 = \sqrt{x} $ usando o método SAAMM, procurando uma raiz $x $ no intervalo entre 0 e 5.

Passo 1: Substituição e Expansão em Série de Taylor

Substituição inicial: Substituímos $x=θ+U$, onde $U$ é o chute inicial e $θ$ representa um valor pequeno.
Expansão da função transcendental: A função $\sqrt{x}$ será expandida em Série de Taylor em torno de U: $$\sqrt{x} = \sqrt{\theta + U}. $$ Usando a Série de Taylor até a primeira ordem: $$\sqrt{\theta + U} \approx \sqrt{U} + \frac{\theta}{2\sqrt{U}}. $$.Aqui, definimos: $$S = \frac{1}{2\sqrt{U}} \quad \text{e} \quad T = \sqrt{U} ,$$ resultando em: $$\sqrt{\theta + U} \approx T + \theta S. $$.
Substituição na equação original: Substituímos $x = \theta + U $ e a expansão de $\sqrt{x}$ na equação $3x – 5 = \sqrt{x}: $ $$ 3(\theta + U) – 5 = T + \theta S. $$ Rearranjando os termos: $$3\theta + 3U – 5 = T + \theta S.$$

Passo 2: Resolver para $θ$

Isolamos os termos lineares em $\theta:$ $$(3−S)θ=T−3U+5. $$

Assim, $θ$ é dado por: $$ \theta = \frac{T – 3U + 5}{3 – S}.$$

Passo 3: Determinar $x = \theta + U$

Usamos $U$ como chute inicial. Aqui, escolhemos $U = 2$ (um valor aproximado no intervalo dado).

Para $U=2 $:
- $T = \sqrt{U} = \sqrt{2} \approx 1.414$,
- $S = \frac{1}{2\sqrt{U}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \approx 0.354$.
Substituímos em $\theta:$ $$\theta = \frac{1.414 – 3(2) + 5}{3 – 0.354}.$$Calculando:$$\theta = \frac{1.414 – 6 + 5}{2.646} = \frac{0.414}{2.646} \approx 0.156.$$
Finalmente, encontramos: $$x = \theta + U = 0.156 + 2 = 2.156.$$

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Fundamentos de SAAMM

O SAAMM (Simplified Approximate Analytical Mathematical Method) é uma abordagem analítica inovadora desenvolvida para resolver equações transcendentais, polinomiais, diferenciais e integrais, de forma simplificada e eficiente.

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Erro Relativo

Para verificar a precisão da solução, usamos métodos numéricos para encontrar o valor exato de $x$. A solução exata da equação $3x – 5 = \sqrt{x}$ é aproximadamente $x_{\text{exato}} \approx 2.162.$

O erro relativo é dado por: $$\text{Erro relativo} = \frac{|x_{\text{exato}} – x|}{x_{\text{exato}}} \cdot 100\%.$$

Substituindo os valores: $$\text{Erro relativo} = \frac{|2.162 – 2.156|}{2.162} \cdot 100 \approx 0.28\%.$$

Conclusão

Usando o método SAAMM, encontramos a solução aproximada $x \approx 2.156$ para a equação $3x – 5 = \sqrt{x}$, com um erro relativo de apenas 0.28%. Isso demonstra a eficiência do método para resolver equações transcendentais de forma analítica e simplificada.

Passos Realizados no Código Python:

Para resolver a equação $3x – 5 = \sqrt{x}$ no intervalo de x entre 0 e 5 utilizando o método SAAMM, e esboçar o gráfico correspondente, você pode utilizar o seguinte código em Python:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import fsolve

# Definindo a função
def func(x):
    return 3*x - 5 - np.sqrt(x)

# Estimativa inicial para a raiz
x0 = 2.0

# Encontrando a raiz usando fsolve
root = fsolve(func, x0)[0]

# Calculando o erro relativo
erro_relativo = abs((root - x0) / root) * 100

# Gerando valores de x para o gráfico
x_values = np.linspace(0, 5, 400)
y_values = func(x_values)

# Plotando o gráfico
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(x_values, y_values, label=r'$3x - 5 - \sqrt{x}$')
plt.axhline(0, color='gray', linestyle='--')
plt.axvline(root, color='red', linestyle='--', label=f'Raiz aproximada: x = {root:.4f}')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Gráfico da função $3x - 5 - \sqrt{x}$')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# Exibindo a raiz e o erro relativo
print(f'Raiz aproximada: x = {root:.4f}')
print(f'Erro relativo: {erro_relativo:.2f}%')

Explicação do Código:

Definição da Função:
A função func(x) representa a equação $3x – 5 – \sqrt{x} $. Nosso objetivo é encontrar o valor de $x$ que satisfaz essa equação.
Estimativa Inicial:
$U=2 $ é a estimativa inicial para a raiz. Neste caso, escolhemos 2.0, mas você pode ajustar conforme necessário.
Encontrando a Raiz:
Utilizamos fsolve do SciPy para encontrar a raiz da função. fsolve é uma função numérica que encontra as raízes de uma função não-linear.
Calculando o Erro Relativo:
O erro relativo é calculado para avaliar a precisão da estimativa da raiz. É dado por: $$\text{Erro Relativo} = \left| \frac{\text{raiz} – x0}{\text{raiz}} \right| \times 100\%$$
Gerando Valores para o Gráfico:
x_values é um array de valores de $x$ no intervalo de 0 a 5. y_values são os valores correspondentes da função func(x).
Plotando o Gráfico:
Utilizamos Matplotlib para plotar o gráfico da função. A linha horizontal em $y=0$ e a linha vertical na raiz aproximada são adicionadas para referência visual.
Exibindo Resultados:
O código imprime a raiz aproximada e o erro relativo no console.

Nota:
Este código utiliza bibliotecas populares como NumPy, SciPy e Matplotlib. Certifique-se de tê-las instaladas no seu ambiente Python. Você pode instalá-las usando pip:

pip install numpy scipy matplotlib

Este método analítico aproximado é útil em diversas situações e serve como preparação para cursos mais avançados de cálculo e métodos numéricos.

Se o leitor preferir explorar uma solução usando Maple, aqui está o código correspondente para resolver a equação $3x – 5 = \sqrt{x}$, plotar o gráfico da função, e calcular o erro relativo:

# Definição da função
f := x -> 3*x - 5 - sqrt(x):

# Encontrando a raiz da equação no intervalo [0, 5]
raiz := fsolve(f(x) = 0, x = 0..5);

# Cálculo do erro relativo baseado em uma estimativa inicial (por exemplo, x0 = 2.0)
x0 := 2.0:
erro_relativo := abs((raiz - x0)/raiz) * 100;

# Gerando o gráfico da função
with(plots):
plot(f(x), x = 0..5, color = blue, thickness = 2, title = "Gráfico da função 3x - 5 - sqrt(x)", labels = ["x", "f(x)"], legend = "3x - 5 - sqrt(x)"):

Passos Realizados no Código Maple:

Definição da Função:
A função $f(x) = 3x – 5 – \sqrt{x}$ é definida com f := x -> 3*x - 5 - sqrt(x).
Resolução da Equação:
O comando fsolve encontra a raiz da equação no intervalo [0,5]. O resultado é armazenado na variável raiz.
Cálculo do Erro Relativo:
O erro relativo é calculado com base em uma estimativa inicial x0=2.0x_0 = 2.0×0=2.0, usando a fórmula:Erro Relativo=∣raiz−x0raiz∣×100%\text{Erro Relativo} = \left| \frac{\text{raiz} – x_0}{\text{raiz}} \right| \times 100\%Erro Relativo=raizraiz−x0×100%
Plotagem do Gráfico:
O gráfico da função $f(x) = 3x – 5 – \sqrt{x}$ no intervalo [0,5] é gerado com o comando plot do pacote plots.