Resolva a Equação Transcendental, 2x – 7 = sin(x), de Forma Simples com o Método SAAMM | Passo a Passo (Python X Maple)

O primeiro passo do método SAAMM é a substituição da variável \(x\) pela soma de um número muito pequeno \(\theta\) (quanto menor, melhor a aproximação) e uma nova variável \(U\) , onde: $$x = θ + U.$$

Essa substituição é fundamental porque permite “quebrar” o problema em duas partes: uma parte controlada e linear em função de \(θ\) e outra que será ajustada posteriormente com a escolha de um chute inicial, \(U\).

Ao substituir \(x = θ + U\), todas as funções transcendentais (como \(sin⁡(x)\)) devem ser expandidas em séries de Taylor com respeito a \(θ\) e não a \(x\).

Essa é a grande sacada do método SAAMM!

A expansão em Série de Taylor deve considerar os termos até primeira ordem em \(θ\). Neste passo, devemos manter na equação apenas os termos de \(θ\) de ordem menor ou igual a um, e desprezar todos os demais.

Para a nossa equação, substituímos o termo \(sin⁡(x)\) pela função aproximada, dada por

$$f_{aprox} ⁡( θ + U ) = f ( U ) + θ . \frac{df(x)}{dx}|_{( x=U )}$$

Para o caso do \(sin(x)\), ficamos com:

$$f_{aprox} ⁡( θ + U ) = sin( U ) + θ . cos( U )$$

Aqui, chamamos, \(S = cos(U)\) e \(T = sin(U)\), assim, a função aproximada, \( f_{aprox} \), de \(sin(x)\), pode ser escrita como:

$$ sin(x) ≈ f_{aprox} ⁡( θ + U ) = T + θ . S. $$

Substituímos esse resultado agora na equação original:

$$2x−7 = sin⁡(x),$$

de onde obtemos,

$$ 2(θ + U) − 7 = S θ + T. $$

Manipulando os termos, podemos isolar θ, e obter:

$$ θ = \frac{ 7 – 2U + T }{ 2 – S } $$

Por último, encontramos o valor de x, considerando, \(x = θ + U\), resultando em:

Mas como encontramos U?

Esse é o momento do esboço gráfico! Esboçamos a função do lado esquerdo da equação original, fesq(x) = 2x−7, contraposta com a função do lado direito, fdir(x) = sin⁡(x), em um único gráfico e escolhemos grosseiramente um valor inicial para U, a partir do ponto de intersecção entre essas duas curvas.

O gráfico das duas curvas, fesq(x) e fdir(x), contrapostos, pode ser visto na Figura 1, obtido muito facilmente, no Maplesoft, a partir do levantamento da Tabela A, no intervalo para x, 1 <= x <= 10. Alternativamente, esse gráfico pode ser obtido no Python, com o código abaixo.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Definindo o intervalo
x = np.linspace(1, 10, 100)

# Funções: Lado esquerdo (2x - 7) e lado direito (sin(x))
fesq = 2 * x - 7
fdir = np.sin(x)

# Criando o gráfico
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, fesq, 'r--o', label="fesq (2x - 7)", linewidth=2, markersize=5)
plt.plot(x, fdir, 'b--o', label="fdir (sin(x))", linewidth=2, markersize=5)

# Adicionando grade, legendas e rótulos
plt.axhline(0, color='gray', linewidth=0.8, linestyle='--')
plt.axvline(0, color='gray', linewidth=0.8, linestyle='--')
plt.grid(color='gray', linestyle='--', linewidth=0.5, alpha=0.7)
plt.legend()
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("fesq, fdir")
plt.title("Gráfico de 2x - 7 e sin(x)")
plt.show()

Note que, para rodar o programa em Python acima é necessário que a biblioteca NumPy, esteja instalada no ambiente Python que você está usando. Analogamente, a biblioteca Matplotlib para a criação de gráficos, também precisa estar instalada para que o programa execute corretamente.

Ao resolvermos numericamente a equação transcendental,

$$2x−7=sin⁡(x)$$

com o auxílio de ferramentas como Maple ou Python, encontramos um valor de referência, preciso, para x, dado por:

Se compararmos o valor obtido pelo método SAAMM com o valor de referência x_REF, podemos calcular o erro relativo, da seguinte forma:

$$Erro_{Relativo}  = \frac{ ∣ x_{SAAMM} − x_{REF} ∣ }{ x_{REF}} \times 100 \ (\%) $$

Resolução no Maple

• Praticidade e foco matemático: Maple é projetado para lidar com problemas matemáticos simbólicos e numéricos com facilidade. Resolver equações transcendentais ou obter valores precisos, como xREF, requer poucas linhas de código.
• Ideal para ensino e análise teórica: Com uma interface gráfica rica, o Maple permite aos usuários visualizar cálculos, gráficos e manipulações matemáticas diretamente, tornando-o mais acessível para iniciantes.
• Limitação: É uma ferramenta proprietária, o que pode limitar seu acesso a quem não possui licença.

Resolução no Python

• Flexibilidade e integração: Python é uma linguagem de propósito geral que, com bibliotecas como SymPy e SciPy, permite resolver equações transcendentais com eficiência. Além disso, Python é ideal para automação, integração com sistemas maiores e análise de dados.
• Acessibilidade: Por ser gratuito e amplamente utilizado, Python oferece uma alternativa economicamente viável para estudantes e pesquisadores.
• Curva de aprendizado: Embora seja mais poderoso para integração, Python exige maior conhecimento de programação e bibliotecas, o que pode ser uma barreira inicial.

Recomendação

Python: Melhor para quem busca flexibilidade, integração com outras áreas (como desenvolvimento de aplicativos ou análise de dados) ou uma alternativa gratuita. Ideal para pesquisadores e estudantes que já possuem alguma familiaridade com programação.

Maple: Ideal para quem deseja uma ferramenta focada em matemática, com visualização integrada e facilidade para manipular equações simbólicas e gráficos. Recomendado para o ensino do método SAAMM e cálculos teóricos.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Funções para os dois lados da equação
def f_esq(x):
    return 2 * x - 7

def f_dir(x):
    return np.sin(x)

# Passo 1: Substituição e aproximação inicial
def expand_sin(theta, U):
    S = np.cos(U)
    T = np.sin(U)
    return S * np.sin(theta) + T * np.cos(theta)

def solve_theta(U, theta_guess=0.01):
    S = np.cos(U)
    T = np.sin(U)
    return (7 - 2 * U + T) / (2 - S)

# Passo 2: Ajuste gráfico para determinar U
x_vals = np.linspace(1, 10, 100)
fesq_vals = f_esq(x_vals)
fdir_vals = f_dir(x_vals)

# Esboço das curvas
plt.plot(x_vals, fesq_vals, label="2x - 7 (lado esquerdo)", color="red", linestyle="--")
plt.plot(x_vals, fdir_vals, label="sin(x) (lado direito)", color="blue", linestyle="-.")
plt.axhline(0, color="gray", linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color="gray", linewidth=0.5)
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("Valores das funções")
plt.legend()
plt.title("Esboço Gráfico das Funções")
plt.grid(True)
plt.show()

# Estimativa inicial de U a partir do gráfico
U = 3.3  # Escolhido grosseiramente pela interseção

# Passo 3: Resolver θ e encontrar x
theta = solve_theta(U)
x_aprox = theta + U
x_ref = 3.381293824  # Valor de referência
erro_relativo = abs((x_aprox - x_ref) / x_ref) * 100

# Exibir os resultados
print(f"Valor aproximado de x usando SAAMM: {x_aprox:.6f}")
print(f"Erro relativo: {erro_relativo:.2f}%")

1. Oscilações Não-Lineares em Física

• Contexto: A equação pode surgir ao modelar um sistema oscilatório com forças não-lineares. Por exemplo, um sistema oscilatório forçado, onde o termo \(\sin(x)\) representa uma força restauradora não linear, e \(2x – 7\) corresponde a forças externas ou amortecimento proporcional à posição.
• Exemplo Prático: Modelagem de pêndulos com pequenas perturbações externas, em que o deslocamento do pêndulo precisa equilibrar forças restauradoras e resistências externas.

2. Engenharia Elétrica: Sistemas de Circuitos Não Lineares

• Contexto: Na análise de circuitos elétricos, x poderia representar a corrente ou a tensão em um componente, e \(2x – 7\) poderia ser o comportamento aproximado de uma fonte dependente. O termo \(\sin(x)\) pode surgir de uma resposta senoidal de componentes como diodos ou indutores.
• Exemplo Prático: Um circuito contendo uma fonte dependente de tensão/corrente que gera uma resposta senoidal.

3. Termodinâmica ou Transferência de Calor

• Contexto: Em transferência de calor, x poderia ser a temperatura em um ponto específico, com \(2x−7 \) representando o fluxo de calor e \(\sin(x)\) surgindo de um modelo não linear de perda ou geração de calor.
• Exemplo Prático: Um sistema com fontes de calor oscilantes ou perdas não-lineares devido a radiação.

4. Controle e Sistemas Dinâmicos

• Contexto: Em controle de sistemas, a equação pode descrever um ponto de equilíbrio onde a força controladora \((2x – 7) \) se iguala a uma resposta não linear \((\sin(x)).\)
• Exemplo Prático: Ajuste do controle de um robô que precisa compensar uma força restauradora oscilante (como atrito não-linear ou interferências).

5. Problemas de Mecânica: Modelagem Idealizada

• Contexto: Em mecânica, a equação pode representar o equilíbrio de forças em um sistema onde uma força não-linear (como atrito ou resistência do ar) é proporcional ao seno de um deslocamento ou ângulo.
• Exemplo Prático: O movimento de uma mola ou sistema elástico submetido a uma força externa proporcional ao deslocamento e uma resistência senoidal.

Esses exemplos mostram como a equação \(2x – 7 = \sin(x)\) pode surgir como parte de um modelo idealizado ou simplificado de problemas reais. Ao resolver equações como essa, muitas vezes ganhamos insights sobre o comportamento qualitativo dos sistemas, mesmo que a modelagem completa exija mais variáveis e equações.