Na aplicação do método SAAMM para resolver o problema da equação cúbica de Van der Waals, a Aproximação de Ordem Escolhida desempenha um papel crucial na simplificação da equação e na obtenção de uma solução analítica aproximada. Este é o segundo passo do processo e consiste em determinar como os termos da variável-chave θ são tratados, de acordo com a ordem de aproximação escolhida.
O Conceito de Aproximação de Ordem Escolhida
Simplificação progressiva:
- Após a substituição ( V = θ + U ), a equação de Van der Waals é reescrita em termos de ( θ ) e ( U ). A expressão resultante geralmente contém termos de diferentes ordens de ( θ ) (primeira ordem, segunda ordem, etc.).
- A ideia central é desprezar os termos de ordem superior, limitando a análise a termos de ordem ( n ) previamente escolhida (por exemplo, até primeira ou segunda ordem em ( θ )).
Escolha da ordem:
- Para simplificações rápidas e eficientes, pode-se considerar apenas os termos lineares em ( θ ), ou seja, uma aproximação de primeira ordem.
- Caso seja necessária maior precisão, pode-se incluir termos de segunda ordem (quadráticos em ( θ )) ou ainda mais elevados, dependendo do nível de detalhamento desejado.
Por que desprezar ordens superiores?
- Como ( θ1 ), os termos de ordem superior (( θ2, θ3, … )) contribuem muito pouco para o resultado final.
- Essa aproximação é uma das razões pela qual o método é eficiente: mantém o equilíbrio entre simplicidade e precisão.
Aplicando a Aproximação de Ordem Escolhida
Reescrevendo a equação e desprezando ordens superiores:
- Mantemos apenas os primeiros termos em ( θ ) (ou seja, até ( θ )).
- Isso resulta em uma equação linear aproximada em ( θ ), que pode ser resolvida analiticamente de forma simplificada.
Resolvendo para ( θ ):
- Após a substituição e simplificação, a equação resultante é manipulada para isolar ( θ ).
- O valor de ( θ ) obtido nessa etapa já é uma solução analítica aproximada para o problema.
Considere os codigos em Maple a seguir:
Por Que Isso Funciona Bem no Caso de Van der Waals?
A equação cúbica de Van der Waals apresenta termos não lineares difíceis de resolver analiticamente. A substituição ( V = θ + U ) e a aproximação de ordem escolhida permitem transformar esses termos em expressões lineares ou quase lineares, que podem ser resolvidas diretamente. A escolha de ( U ) adequado (usualmente por métodos gráficos ou estimativas iniciais) garante que a contribuição de ( θ ) seja pequena, validando a eficácia da aproximação.
Resumo da Estratégia da Segunda Parte:
- Expandir os termos em ( θ ): Realizar uma expansão em séries de Taylor com foco na variável-chave ( θ ).
- Escolher a ordem da aproximação: Decidir até qual ordem os termos de ( θ ) serão considerados (geralmente até a primeira ordem).
- Desprezar ordens superiores: Simplificar a equação descartando contribuições insignificantes.
- Resolver para ( θ ): Isolar ( θ ) para obter uma solução analítica aproximada.
Essa etapa é fundamental para transformar um problema complexo em um formato acessível, garantindo rapidez e eficiência sem perder de vista a precisão necessária para aplicações práticas. No próximo passo, o foco estará em como validar a solução obtida e ajustá-la caso necessário, usando ( U ) como parâmetro refinável.
- Para m=1: Linearização única no intervalo inteiro, maior erro. (…->)
- Para m=2: Melhor aproximação com dois segmentos. (…->)
- Para m=3: Refinamento ainda maior, com possibilidades de erro relativo no resultado final, significativamente reduzido. (…->)
- Assim por diante. Generalização para m. (…->)
- Generalização para m com ajuste parabólico. (…->)