Calculadora de Taylor – SAAMM Analytical Help

O que é a Calculadora de Taylor?

🔹 Definição — A Calculadora de Taylor

A Calculadora de Taylor é uma ferramenta analítica que permite aproximar funções transcendentais — como exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas — por meio de polinômios simples, obtidos a partir do desenvolvimento em série de Taylor em torno de um ponto de referência.

No contexto do Método SAAMM, a Calculadora de Taylor é aplicada após a substituição: x=U+θx = U + \thetax=U+θ

onde:

UUU é o ponto de referência escolhido por inspeção ou análise gráfica;
θ\thetaθ é uma pequena variação em torno desse ponto.

A partir dessa substituição, aplicamos a expansão de Taylor à função f(x)f(x)f(x), obtendo: f(U+θ)≈f(U)+f′(U) θ(1ª ordem)f(U+\theta) \approx f(U) + f'(U)\,\theta \quad \text{(1ª ordem)}f(U+θ)≈f(U)+f′(U)θ(1ª ordem)

ou, se for necessária maior precisão, f(U+θ)≈f(U)+f′(U) θ+12f′′(U) θ2(2ª ordem)f(U+\theta) \approx f(U) + f'(U)\,\theta + \tfrac{1}{2}f”(U)\,\theta^2 \quad \text{(2ª ordem)}f(U+θ)≈f(U)+f′(U)θ+21f′′(U)θ2(2ª ordem)

Essas expressões constituem o núcleo da Calculadora de Taylor, que pode ser usada em duas versões:

Calculadora de Primeira Ordem → fornece aproximações lineares, rápidas e práticas;
Calculadora de Segunda Ordem → incorpora curvatura e melhora a precisão analítica.

✨ Essência conceitual

A Calculadora de Taylor é, portanto, uma maneira simbólica e estruturada de pensar aproximações.
Em vez de depender de iterações numéricas, ela transforma funções complexas em expressões acessíveis — o que torna possível resolver equações transcendentais com lógica, clareza e intuição geométrica.

passo a passo por que e como a expansão em f(θ+U)≈f(U)+f′(U) θf(\theta+U)\approx f(U)+f'(U)\,\thetaf(θ+U)≈f(U)+f′(U)θ

é obtida, e onde consideramos θ\thetaθ em torno de 000. Vou também mostrar o resto (erro) e um exemplo numérico para deixar tudo concreto.

1) Ideia-chave (duas maneiras equivalentes)

Existem duas maneiras idênticas de ver a mesma aproximação — escolha a que for mais clara para você:

(A) Expandir f(x)f(x)f(x) em torno do ponto x=Ux=Ux=U.
Taylor em xxx com a=Ua=Ua=U: f(x)=f(U)+f′(U)(x−U)+12f′′(U)(x−U)2+⋯ .f(x)=f(U)+f'(U)(x-U)+\tfrac{1}{2}f”(U)(x-U)^2+\cdots.f(x)=f(U)+f′(U)(x−U)+21f′′(U)(x−U)2+⋯.

Agora coloque x=U+θx=U+\thetax=U+θ. Então x−U=θx-U=\thetax−U=θ e a expansão vira f(U+θ)=f(U)+f′(U)θ+12f′′(U)θ2+⋯ .f(U+\theta)=f(U)+f'(U)\theta+\tfrac{1}{2}f”(U)\theta^2+\cdots.f(U+θ)=f(U)+f′(U)θ+21f′′(U)θ2+⋯.

(B) Defina g(θ)=f(U+θ)g(\theta)=f(U+\theta)g(θ)=f(U+θ) e faça Taylor de ggg em torno de θ=0\theta=0θ=0.
Então g(θ)=g(0)+g′(0)θ+12g′′(0)θ2+⋯ .g(\theta)=g(0)+g'(0)\theta+\tfrac{1}{2}g”(0)\theta^2+\cdots.g(θ)=g(0)+g′(0)θ+21g′′(0)θ2+⋯.

Mas g(0)=f(U)g(0)=f(U)g(0)=f(U) e, pela regra da cadeia, g′(0)=f′(U)g'(0)=f'(U)g′(0)=f′(U), g′′(0)=f′′(U)g”(0)=f”(U)g′′(0)=f′′(U), etc. Assim obtemos exatamente a mesma forma: f(U+θ)=f(U)+f′(U)θ+12f′′(U)θ2+⋯ .f(U+\theta)=f(U)+f'(U)\theta+\tfrac{1}{2}f”(U)\theta^2+\cdots.f(U+θ)=f(U)+f′(U)θ+21f′′(U)θ2+⋯.

Portanto expandir em torno de θ=0\theta=0θ=0 é equivalente a expandir fff em torno de x=Ux=Ux=U. É por isso que, no SAAMM, tomamos UUU como ponto de referência e consideramos θ\thetaθ pequeno (próximo de 0).

2) Condições de validade

Para usar essa expansão (e truncá-la na primeira ordem) precisamos que:

fff seja diferenciável (no mínimo C2C^2C2 para ter controle do termo quadrático) em um intervalo que contenha UUU e U+θU+\thetaU+θ;
θ\thetaθ seja “pequeno” (para que os termos de ordem superior sejam realmente pequenos);
se quisermos a série infinita, ela deve convergir (ou pelo menos o truncamento deve ser válido com um resto controlável).

3) Forma explícita do resto (erro) — Lagrange

Se truncarmos após o termo linear, a forma de Lagrange do resto diz que existe ξ\xiξ entre UUU e U+θU+\thetaU+θ tal que R1(θ)=f(U+θ)−(f(U)+f′(U)θ)=f′′(ξ)2 θ2.R_1(\theta)=f(U+\theta)-\big(f(U)+f'(U)\theta\big)=\frac{f”(\xi)}{2}\,\theta^2.R1(θ)=f(U+θ)−(f(U)+f′(U)θ)=2f′′(ξ)θ2.

Isto fornece um limite: ∣R1(θ)∣≤M2θ2|R_1(\theta)| \le \frac{M}{2}\theta^2∣R1(θ)∣≤2Mθ2, onde M=max⁡t∈[I]∣f′′(t)∣M=\max_{t\in[I]}|f”(t)|M=maxt∈[I]∣f′′(t)∣ no intervalo III que contém UUU e U+θU+\thetaU+θ. Assim o erro é O(θ2)O(\theta^2)O(θ2).

4) Interpretação prática (por que expandir em torno de θ=0\theta=0θ=0)

Expandir em torno de θ=0\theta=0θ=0 (i.e., x=Ux=Ux=U) garante que os coeficientes da série sejam valores conhecíveis: f(U),f′(U),f′′(U),…f(U), f'(U), f”(U),\dotsf(U),f′(U),f′′(U),….
Se UUU for escolhido perto da raiz ou do ponto de interesse (por inspeção gráfica), então θ\thetaθ será pequeno e o termo linear já dá uma boa aproximação.
Em SAAMM isso transforma funções transcendentes em termos lineares em θ\thetaθ: ao coletar constantes e coeficientes de θ\thetaθ na equação, isolamos θ\thetaθ por álgebra simples.

5) Exemplo numérico (para ver o resto em ação)

Escolha f(x)=exf(x)=e^xf(x)=ex, U=1U=1U=1, e θ=0.1\theta=0.1θ=0.1.

f(U)=e1≈2.718281828459045f(U)=e^{1}\approx 2.718281828459045f(U)=e1≈2.718281828459045.
f′(U)=e1=2.718281828459045f'(U)=e^{1}=2.718281828459045f′(U)=e1=2.718281828459045.

Aproximação 1ª ordem: f(U+θ)≈f(U)+f′(U)θ=e (1+θ)=e×1.1≈2.9901100113049495.f(U+\theta)\approx f(U)+f'(U)\theta = e\,(1+\theta)=e\times 1.1 \approx 2.9901100113049495.f(U+θ)≈f(U)+f′(U)θ=e(1+θ)=e×1.1≈2.9901100113049495.

Valor exato: f(1.1)=e1.1≈3.0041660239464334.f(1.1)=e^{1.1}\approx 3.0041660239464334.f(1.1)=e1.1≈3.0041660239464334.

Erro real: erro=f(1.1)−aprox1≈0.0140560126414839.\text{erro}=f(1.1)-\text{aprox}_1 \approx 0.0140560126414839.erro=f(1.1)−aprox1≈0.0140560126414839.

Resto estimado (usando f′′(t)=etf”(t)=e^tf′′(t)=et e tomando máximo em [1,1.1][1,1.1][1,1.1], que é e1.1e^{1.1}e1.1): ∣R1∣≤e1.12 θ2≈3.00416602×0.01≈0.01502083.|R_1|\le \frac{e^{1.1}}{2}\,\theta^2 \approx \frac{3.0041660}{2}\times 0.01 \approx 0.01502083.∣R1∣≤2e1.1θ2≈23.0041660×0.01≈0.01502083.

Esse limite é consistente: o erro real ≈0.01406≈0.01406≈0.01406 está abaixo do limite ≈0.01502≈0.01502≈0.01502.

Conclusão prática: para θ=0.1\theta=0.1θ=0.1 a aproximação linear dá um erro da ordem de 10−210^{-2}10−2; incluir o termo quadrático reduz fortemente o erro.

6) Como isso se aplica no SAAMM (fluxo operacional)

Escolha UUU pelo gráfico (ponto de referência).
Substitua x=U+θx=U+\thetax=U+θ na equação original.
Aplique a Calculadora de Taylor (Regra 2): f(U+θ)≈f(U)+f′(U)θf(U+\theta)\approx f(U)+f'(U)\thetaf(U+θ)≈f(U)+f′(U)θ para todas as funções transcendentes envolvidas.
Reescreva a equação: ela terá termos constantes (em UUU) e termos em θ\thetaθ.
Agrupe os coeficientes de θ\thetaθ e dos termos constantes; resolva a equação linear resultante para θ\thetaθ.
Obtenha x≈U+θx\approx U+\thetax≈U+θ. Se precisar de mais precisão, aplique a Regra 3 (incluir 12f′′(U)θ2\tfrac{1}{2}f”(U)\theta^221f′′(U)θ2) e trate a equação resultante (agora quadrática em θ\thetaθ).

Exemplo simbólico curto: suponha que a equação seja sin⁡(x)+x2−c=0.\sin(x) + x^2 – c = 0.sin(x)+x2−c=0.

Com x=U+θx=U+\thetax=U+θ e aproximando: (sin⁡U+cos⁡U θ)+(U2+2Uθ)−c≈0.\big(\sin U + \cos U\,\theta\big) + \big(U^2 + 2U\theta\big) – c \approx 0.(sinU+cosUθ)+(U2+2Uθ)−c≈0.

Agrupando: (sin⁡U+U2−c)+(cos⁡U+2U)θ≈0.\big(\sin U + U^2 – c\big) + \big(\cos U + 2U\big)\theta \approx 0.(sinU+U2−c)+(cosU+2U)θ≈0.

Então (se cos⁡U+2U≠0\cos U + 2U \neq 0cosU+2U=0), θ≈−sin⁡U+U2−ccos⁡U+2U,x≈U+θ.\theta \approx -\frac{\sin U + U^2 – c}{\cos U + 2U}, \qquad x \approx U+\theta.θ≈−cosU+2UsinU+U2−c,x≈U+θ.

7) Resumo (em poucas linhas)

Expandir f(θ+U)f(\theta+U)f(θ+U) em torno de θ=0\theta=0θ=0 é matematicamente equivalente a expandir f(x)f(x)f(x) em torno de x=Ux=Ux=U.
A aproximação linear f(U)+f′(U)θf(U)+f'(U)\thetaf(U)+f′(U)θ surge do primeiro termo não-trivial da série de Taylor e tem resto O(θ2)O(\theta^2)O(θ2) com forma explícita (Lagrange).
Para θ\thetaθ pequeno essa aproximação é robusta; o termo quadrático corrige o erro quando for necessário.
No SAAMM, essa técnica transforma equações transcendentes em equações lineares (ou quadráticas, se incluires 2ª ordem) em θ\thetaθ, permitindo solução analítica aproximada e interpretação clara do erro.