Uso do Método Gráfico

Vamos estruturar a solução do problema da equação cúbica de Van der Waals utilizando o Método Gráfico com foco na parametrização de U=U(P), agora considerando o número de divisões m no intervalo de pressões. A ideia é detalhar o raciocínio, definir as etapas e deixar claro como o problema será resolvido. Depois, podemos implementar.

Contextualização do Problema

A equação cúbica de Van der Waals, que relaciona volume específico (V), pressão (P) e temperatura (T), é resolvida de forma aproximada devido à sua complexidade. Aqui, a abordagem gráfica é usada para determinar U, que facilita a obtenção de V(P) no intervalo de pressões dado.

Como a variação de P é significativa no intervalo de volume considerado, impossibilita o uso de U como constante em um intervalo amplo. Em vez disso, U deve ser ajustado como uma função de P.

Definição da Estratégia para U(P)

Divisão do Intervalo de Pressão (P) – Para melhorar a precisão, dividimos o intervalo de P (P_ini a P_fin​) em m subintervalos. Cada subintervalo terá sua própria aproximação linear de U. A divisão ocorre de forma uniforme, e os pontos de partição P_k​ são calculados como:

P_k = P_ini + k⋅(P_fin−P_ini)/m, k = 0,1,…,m.

Definição de U(P) – Para cada subintervalo [P_k,P_k+1], U será uma função linear de P:

U(P) = a_k​P + b_k​, P ∈ [P_k​,P_k+1​].

Os coeficientes a_k e b_k​ são ajustados usando as condições de contorno nos extremos de cada subintervalo:

U(P_k​) = V_k​, U(P_k+1​) = V_k+1​.

Solução por Partes – A função U(P) resultará em uma função piecewise linear com m segmentos lineares. Um esquema da função U(P) para vários valores de m pode ser visto na figura abaixo.

Passos para Estruturar a Solução

Entrada de Dados:

• Intervalo de pressões [P_ini,P_fin].
• Volume específico nos extremos do intervalo V_ini, V_fin​. (Pode ser encontrado através do Método Gráfico)
• Número de divisões m.

Cálculo dos Pontos de Partição Pk

Calcular os valores intermediários de P_k ​ para k = 1,…,m.

Determinação de U(P)

Para cada subintervalo [P_k,P_k+1], calcular os coeficientes a_k​ e b_k​ da função linear usando:

Construir a função U(P) como uma função piecewise linear.

Resultados Esperados

Função U(P)

A função U(P) será expressa como:

Melhoria com m

• Para m=1: Linearização única no intervalo inteiro, maior erro. (…->)
• Para m=2: Melhor aproximação com dois segmentos. (…->)
• Para m=3: Refinamento ainda maior, com possibilidades de erro relativo no resultado final, significativamente reduzido. (…->)
• Assim por diante. Generalização para m. (…->)
• Generalização para m com ajuste parabólico. (…->)